侧重点不同。be asleep和fall asleep的意思都是入睡，但是fall asleep表示去睡觉这个动作，强调入睡的动作，be asleep表示在睡梦中、已睡着，强调睡着的状态。
asleep的用法
asleep的基本含义是“睡着”，泛指已经进入了睡眠的状态。引申可表示“麻木的”“平静的”“静止的”；也可表示“玩忽职守的”。
asleep是表语形容词，偶尔用作定语时须后置，带有修饰语时也可前置。
asleep不用于比较等级。
asleep可用fast，sound，much或very much等状语修饰，但不可用very修饰。
asleep在句中也可用作宾语补足语。
asleep表示的是与awake相对的状态，有时含有“本该清醒，但却睡了”的意思。
asleep的例句
He fell asleep just past midnight with tolerable ease.
他刚过午夜就睡着了，睡得还算安稳。
His eyes were shut and he seemed to have fallen asleep.
他眼睛闭着，似乎睡着了。
She buried her head under the covers， pretending to be asleep.
她把头埋到被子底下，假装睡着了。