如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是：．
【解析】（1）由等边对等角得∠B=∠BED，由同角的余角相等可得∠A=∠GEF，进而由两角分别相等的两个三角形相似，可证△EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H，由tanA=及△EFG∽△AEG，得AG=4x，AF=3x，EH=，
可得y关于x的解析式；
（3）△EFD是等腰三角形，分三种情况讨论：①EF=ED；②ED=FD；③ED=EF三种情况讨论即可.
（1）∵ ED=BD，
∴∠B=∠BED．
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°．
∵ EF⊥AB，
∴∠BEF=90°．
∴∠BED+∠GEF=90°．
∴∠A=∠GEF．
∵∠G是公共角，
∴△EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA==，
∴在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==,
∵△EFG∽△AEG，
∴,
∵ FG=x，
∴ EG=2x，AG=4x．
∴ AF=3x．
∵ EH⊥AF，
∴∠AHE=∠EHF=90°．
∴∠EFA+∠FEH=90°．
∵∠AEF=90°，
∴∠A+∠EFA=90°,
∴∠A=∠FEH,
∴ tanA =tan∠FEH,
∴在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH==,
∴ EH=2HF,
∵在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA==，
∴ AH=2EH，
∴ AH=4HF，
∴ AF=5HF，
∴ HF=，
∴EH=，
∴y=FG·EH=x·=定义域：（0<x≤）；
（3）当△EFD为等腰三角形时，
①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，
∵∠BED=∠EFH，
∴∠BEH=∠AHG，
∵∠ACB=∠AEH=90°，
∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH的平分线，
则ED=EF=x，DG=8−x，
∵anA=，
∴x=3，即BE=3；
②若FE=FD, 此时FG的长度是;
③若DE=DF, 此时FG的长度是.